Hallo Elli, Dragonfly, paranoia und alle anderen 33%,

ich muss mich entschuldigen. Ich hatte gerade bei einer langen Runde durch den Pool (der Nachbar hat meiner Tochter 20 Euro geboten, wenn sie ihn kehrt, damit Morgen Wasser reinkann, aber das Mädchen ist discokrank von gestern, also war ich ein guter Vater...) Gelegenheit, noch mal über dieses wirklich außerordentliche Rätsel nachzudenken.

Und siehe, ihr habt Recht.

Ich tue mich immer schwer, fertige Erklärungen (auch Simulationen) zu akzeptieren. Ich muss da irgendwie selbst draufkommen.

Ist gelungen, dem staubigen Pool sei dank.

Dazu habe ich die Ziege von hinten aufgezäumt, ich denke, so ist es für alle nachvollziehbar.

Ich will meinen Lösungsweg zu Eurer Lösung kurz erläutern.

Wir haben drei Türen, nach der Wahl liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der von mir gewählten Tür befindet, bei 33%.

Logischerweise liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ich falsch liege, bei 66%.

Der Moderator nimmt nun eine der beiden anderen Türen aus dem Rennen. Dabei handelt es sich in jedem Fall um eine Ziegentür.

Die Wahrscheinlichkeit, dass meine gewählte Tür die Autotür ist, liegt nun immer noch bei 33 %.

Da aber die Gesamtwahrscheinlichkeit bei beiden verbliebenen Türen zusammen nach wie vor 100 ergeben muss (zumindest, solange der Moderator weiß, wo das Auto ist), ergibt sich, dass die Tür, die ich nicht gewählt habe, nun eine Autowahrscheinlichkeit von 66% hat.

Wechseln von meiner Tür auf die andere verdoppelt also meine Chance, das Auto zu erwischen.

Korrekt?

Man kann auch die Gegenprobe machen: In der ersten Runde beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ich das Auto NICHT habe, weil ich eine Ziegentür getippt habe, 66%. Der Moderator nimmt nun eine Ziegentür aus dem Rennen. Die Wahrscheinlichkeit, dass meine Tür eine Ziegentür ist, beträgt nun immer noch 66%. Die Wahrscheinlichkeit, dass die andere verbliebene Tür eine Ziege verbirgt, ist dagegen rechnerisch nur halb so hoch. Wechseln verdoppelt meine Chance.

Da lag ich zwie Tage lang falsch, weil ich die beiden Raterunden nie zusammen betrachtet habe.

Das Erstaunliche für mich ist dabei, dass es offenbar (ich habe darüber zuvor ehrlich gesagt nie nachgedacht) objektive und subjektive WEahrscheinlichkeiten gibt. Während ich als Teilnehmer am Spiel von Anfang an diese Wahrscheinlichkeit von 33%/66% habe, wäre jemand, der in der zweiten Stufe hinzukäme (also nachdem eine Tür ausgeschieden ist), mit dem Umstand konfrontiert, dass seine Chance, das Auto zu erwischen, immer bei 50/50 läge.

Das hat schon fast quantenphysikalische Momente, in denen man sich geistig völlig verlieren kann. Denn in Serie gerechnet müsste der später hinzukommende Rater besser liegen als der, der nie wechselt. Aber schlechter als der, der immer wechselt.

Wenn wir jetzt den menschlichen Faktor wegdenken und uns eine Versuchsanordnung vorstellen, in der ein Rateroboter stur wechselt, ein Roboter nie wechselt und einer jeweils in der zweiten Runde rein mechanisch eine der beiden Türen tippt, müsste sich eine klare Verteilung ergeben, bei der Roboter 1 in 66% der Fälle gewinnt, Roboter 2 in 50 % und Roboter 3 in einem Drittel der Versuche.

Richtig?

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