Gehen wir von der ursprünglichen Differentialgleichung aus, und nehmen wir ein Temperaturgleichgewicht mit und ohne auf der Erde künstlich erzeugter Wärmeenergie an, dann ist jeweils das dT/dt = 0.

Ohne zusätzlichen Wärmeeintrag ist das Ergebnis 277,92 K
Mit dem genannten Eintrag durch die Menschen (ca. 4 Zehnerpotenzen kleiner als der Eintrag durch die Sonne) komme ich bei zwei Kommastellen wieder auf 277,92 K, d.h. die Temperaturerhöhung liegt hinter der zweiten Kommastelle. Forget it.

Mein Verdacht war schon beim ersten Ansatz, dass Du den Wärmefluss über die Zeit aufintegrierst, das ist aber falsch.