Persönlich habe ich nicht gehört, dass jemand aus Mariupol geflohen
ist, als die ukrainische Armee gekommen ist - wohl aber jedes Mal, wenn die
"Neu-Russen" zu kommen versuchen.

Ende August 2014 flohen selbstverständlich Menschenmassen aus Mariupol,
weil sie Kampfhandlungen befürchteten.
Möglicherweise hast Du das nicht bekommen oder Du unterschlägst das.

Die Leute sind vor den Russen geflohen, die über Novoasovsk so heftig eindrangen, dass
selbst jene, die nach Russland fliehen wollten, über Berdiansk und dann per Fähre über die Krim
gehen mussten.
Dies zu jenem Zeitpunkt, als auch die Offensive in Ilovaisk begann.
Vor der ukrainischen Armee ist niemand aus Mariupol geflohen.

Aber hier müssten doch die angeblichen Genozide am schnellsten und ungehindert stattfinden:

Du fragst: Wieso flieht niemand aus Kiew, UA, aus Dnepropetrowsk, UA, aus Charkow, UA ...
Weil dort (noch) kein Krieg herrscht.

Wieso fliehen hauptsächlich Leute aus Orten, die "befreit" werden sollen?

Weil dort Krieg stattfindet – ganz real, mit Tod, Verletzungen, Hunger, Krankheiten usw..