Des weiteren ist Vielen auch nicht bewusst, dass Wahrscheinlichkeit nichts über den Erfolg des einzelnen Falles (also "Wurf" oder "Tipp") aussagt, sondern Aussagen zur Wahrscheinlichkeit nur aus einer hinreichend großen Zahl von Würfen gewonnen werden können.

Der Spieler darf also machen was er will für den einzelnen Fall, will er aber von hundert Spielen die Mehrheit gewinnen, muss er immer auf das Angebot des Moderators eingehen, sonst wird das nichts.

Denn: VOR Oeffnen der ersten Tuer, war die Wahrscheinlichkeit ALLER drei je ein Drittel (fuer den Uneingeweihten; stillschweigend scheint ja von den sich klug duenkenden der Fragesteller immer davon ausgegangen zu werden, der Quizmaster wisse mehr - dann gibt es aber eine Bifurkation der Wahrscheinlichkeiten nach dem Bayes-Theorem, wonach die subjektiven Wahrscheinlichkeiten fuer den Ratenden anders als fuer den Quizmaster sind - aber bleiben wir mal nur beim Ratenden). NACH Oeffen der ersten Tuer sind die Wahrscheinlichkeiten fuer die zwei VERBLEIBENDEN Tueren aber je 50% - in Ermangelung eines anderen Massstabes. Hier laesst die Beweisfuehrung zu wuenschen uebrig, warum die 1/3 zu 2/3-Verteilung "weiter" gelten solle, wo sie doch zuvor nicht galt ...

Es spielt beim Wuerfeln ja auch keine Rolle, was der vorhergehende Wurf erbracht hat.

Um es klarzustellen: als Agnostiker beteilige ich mich an den Spekulationen nicht. Aber die Begruendungen ALLER Beteiligten, auch die von Frau Vos, die sich fuer einen IQ von 210 in Trivial Pursuit feiern laesst, obwohl es einen solchen nicht messbar geben kann, hinken. In der mathematischen Wissenschaft kann es aber keine besseren und schlechteren Loesungen (Bayes ausgenommen) geben, sondern nur eine richtige. Selbst viele (vermutlich) richtige Loesungen harren aber noch des Beweises, vgl. Fermat, wo das erst kuerzlich gelungen ist. Weshalb auch die Simulation per Youtube gerade kein Beweis ist, sowenig, wie diese brute-force-Attacken auf bisher unbewiesene Saetze. Sie tun nichts hinzu, als was die geniale Intuition des Erstformulierenden nicht auch erbracht haette. Sonst koennte man auch Dreiecks-Winkel nachmessen, um Euklid ueberzeugender zu machen.

Auch Goedels Gottesbeweis ist so ein "Knaller". Erst sich seinen Gott so schaffen, wie er einem behagt, dann ihn beweisen. Nannte sich frueher, als Argumentieren noch ohne Forschungsgelder auskam, petitio principii.

(momentan 208 Kommentare )

Beste Grüße,

Positiv.

Wenn ich deinen Bruder frage, was hinter deiner Tür ist, was wird er antworten?

Man geht durch die Tür, bei der der Wächter sagt: Mein Bruder wird sagen, hinter mir befindet sich die Todeszelle.

Funktioniert in allen Kombinationen.

Ich bin so stolz auf mich.

Danke, Leser23,

ich habe den Eindruck, das war ungefähr das, was ich die ganze Zeit
veruschte, klarzumachen.

Weiter unten ist es gut erklärt, ich lag auch falsch. Ärgerlich weil die Erklärung wirklich logisch und griffig ist!

Frei nach Henry Ford"...unsere Fehlschläge waren oft erfolgreicher, als unsere Erfolge..."

Hallo Phoenix5

nein, der Kandidat hat sich auch nicht im Geiste für eine Tür
entschieden.

Er hat sich eben gar nicht entschieden und hatte ursprünglich 3 Türen
zur Auswahl und jetzt nur noch 2.

Du wirst mir sicherlich zustimmen, dass in dem Fall das Chancenverhältnis
von 33% auf 50% wechselt?

Da kann man die 50:50 Fraktion schon etwas verstehen. Denn wenn alleine
dadurch, dass der Kandidat eine Wahl trifft, geistig oder verbal, das
Chancenverhältnis bei einem Wechsel auf 66% steigen soll, ist das schon
schwer nachvollziehbar.

Aber so sieht man eben auch die Lösung des Problems. Die 66% entstehen
eben nur aus dem Blickwinkel des Kandidaten.
Jeder Dritte, der zum Zeitpunkt, wo nur noch zwischen zwei Türen
ausgewählt werden muss, die Szene betritt und eine Tür wählen soll hat
ein 50:50 Chancenverhältnis.

Das stimmt. Allerdings musst du bedenken, dass du durch deine Wahl ja auch den Moderator in seiner Wahl einschränkst, d.h. er kann die Tür, die du gewählt hast, nicht mehr öffnen (egal ob sich jetzt der Gewinn oder die Ziege dahinter verbirgt) und das ist der Knackpunkt.
Dehne die Geschichte auf 1000 Türen aus. Wenn du KEINE Wahl triffst, kann der Moderator alle Türen öffnen bis auf zwei (eine mit Gewinn, eine mit Ziege). Wenn du erst jetzt die Wahl triffst, hast du eine 50:50-Chance. Triffst du deine Wahl dagegen VORHER, hast du eine Chance von 999:1000, dass du eine Ziegen-Tür erwischt und die MUSS der Moderator aber nun geschlossen lassen, weshalb du durch deinen Wechsel plötzlich eine Chance von 999:1000 auf den Hauptgewinn hast.

Das Ziegenproblem hat schon fast was Quantenmechanisches, wie PPQ in seinem Erleuchtungserlebnis erkannte. Ob es die verborgenen Variablen doch gibt?

Beste Grüße
Phoenix5

Die Aufgabe heißt nicht: "Wie kann ich maximal viel Geld bekommen?"
oder: "Wie bekomme ich auf jeden Fall mehr oder zumindest gleichviel wie der andere?"

Es gibt in dem Beispiel mehr als 2, nämlich 5 Beteiligte:

Tanja
Markus
Sachbearbeiter
Fluggesellschaft
Versicherung (das unterstelle ich)

Die Lösung zum Wohle aller Beteiligten (inkl. sich selbst) ist, die Wahrheit zu sagen.
Wer lügt (höhere oder niedrigere Angabe als realer Kaufpreis), schadet mindestens einem der Beteiligten und in weitreichenderer Betrachtung damit auch sich selbst.

Insbesondere kann aus so einer "Zufalls"-Bekanntschaft von Tanja und Markus eine lebenslange glückliche Liebesbeziehung werden. Alleine schon aus dieser Option heraus ist es rational, die Wahrheit zu sagen. Wer sich outet, für ein paar Euro zu lügen oder danach zu trachten, wie er das Maximum für sich herausschlagen kann, taugt nicht für eine liebevolle Partnerschaft.

Und selbst wenn die Begegnung in der Schadensersatzabteilung die letzte Begegnung mit dem anderen war, so bleibt man laufend mit sich selbst in Begegnung. Und wer sich selbst beim Lügen beobachtet, wird dadurch sein eigenes Selbstbild formen und entsprechende Ergebnisse in seinem weiteren Leben entstehen lassen.

Die logische Antwort lautet daher: Sofern es sich bei Tanja und Markus um die Namen von echten Menschen handelt (Menschen = "geistig sittliche Wesen" laut juristischem Lexikon), sagen beide die Wahrheit, und da beide die Wahrheit sagen, bekommen beide den exakten Kaufpreis zurückerstattet. Der Sachbearbeiter erkennt, dass beide die Wahrheit sagen, er freut, sich die Bekanntschaft mit ehrlichen Menschen gemacht zu haben, die Fluggesellschaft (inkl. Versicherung) kommt für exakt den Schaden auf, den sie angerichtet haben.

Viele Grüße
Konstantin

1. Fall: 1EUR - 1EUR - 2EUR (<- Das ist die Anordnung der drei Tore.)
Spieler zieht ersten 1EUR, Spielleiter zieht zweiten 1EUR. Wechsel lohnt.

2. Fall: 1EUR - 1EUR - 2EUR
Spieler zieht zweiten 1EUR, Spielleiter zieht ersten 1EUR. Wechsel lohnt.

3. Fall: 1EUR - 1EUR - 2EUR
Spieler zieht 2EUR, Spielleiter zieht ersten/zweiten 1EUR. Wechsel lohnt nicht.

Verständlich? Sonst mache ich es noch ausführlicher! :)

Du gehst nur für den Fall von einer 50/50-Chance aus, wenn ein Teilnehmer
keine Vorauswahl getroffen hat und erst nach dem Zeigen der ersten Niete
seine Wahl treffen muss...korrekt? In dem Fall hat der Kandidat
tatsächlich eine 50/50-Chance (siehe auch Dragonfly'sche Aufteilung).

Richtig, das wäre Fall A).

Fall B) wäre aus Teilnehmer-Sicht, wenn ich nicht wüsste, dass der Spielleiter zwingend eine Niete zieht. Aber diese Überlegung ist Unsinn, wie mir dank Elli bewusst wurde. Denn entweder weiß ich dann, dass eine Niete raus ist, also kann ich mir die Chance logisch ableiten, oder der Spielleiter zieht das Auto, dann habe ich auch verloren.

Gruß
Broesler

Die Chance, dass der "neue" Teilnehmer die richtige Tür wählt, liegt

eben

doch bei 50:50.

Der Teilnehmer hat 2 Auswahlmöglichkeiten, Tor 1 oder Tor 2 oder anders:
Gewinn oder Zonk.
Dementsprechend könnte man von einer Gleichverteilung der
Gewinnwahrscheinlichkeit auf beide Tore ausgehen, dem ist aber nicht so.

Wenn die Produzenten, dank eines neuen Gesetzesvorschlags der SPD, die
Wahrscheinlichkeiten auf beide übriggebliebenen Tore
projezieren müssten, würde dort nicht 50%/50% stehen...

Oder versteh ich dich einfach falsch?

Wie schon oben erwähnt bin ich das Problem aus der Teilnehmer-Perspektive angegangen und für den unbedarften Teilnehmer ist halt nur eine 50:50-Chance ableitbar.

Aus der Beobachter-Perspektive ergibt sich folgendes Bild:

Nimm drei Münzen: 2 x 1 EUR und 1 x 2 EUR. Die 2 EUR-Münze sei das Auto.

1. 1 - 1 - 2
Spieler erste 1, Spielleiter zweite 1. Wechsel lohnt.

2. 1 - 1 - 2
Spieler zweite 1, Spielleiter erste 1. Wechsel lohnt.

3. 1 - 1 - 2
Spieler 2, Spielleiter erste/zweite 1. Wechsel lohnt nicht.

Das Erstaunliche an diesem Spiel ist, dass die Spieltheorie vorhersagt, rationalerweise wäre von den Spielern der Wert 2 € zu wählen. Diese Antwort widerspricht natürlich dem gesunden Menschenverstand, ist aber durch einige logische Überlegungen nachzuvollziehen.
Tanja und Markus – beziehungsweise abstrakt A und B – werden sich überlegen, wie der jeweils Andere handeln wird. Die erste Wahl ist logischerweise 100, da sich so der meiste Gewinn erzielen lässt. Allerdings kann Spieler A seine Auszahlung sogar auf 101 erhöhen, indem er 99 angibt und den Bonus einnimmt. Da Spieler B genauso denkt wie Spieler A – das ist eine der Eigenschaften, die die Spieltheorie unter dem Begriff „rational“ zusammenfasst – wird er zu demselben Schluss gelangt sein, sodass nun beide 99 wählen. A weiß, dass B genauso denkt, und versucht, wieder auf dieselbe Weise, seine Auszahlung zu erhöhen: Er wählt den nächstniedrigeren Wert 98, was ihm den Bonus (B wählt immer noch 99) und damit immerhin noch eine Auszahlung von 100 einbringt. B wird nun wieder nachziehen, durch dieselben Schlüsse von A unterboten werden, usw. Die Folge ist, dass es zu jeder Zahl eine bessere gibt, und zwar die jeweils niedrigere. Also ist die logische Wahl für beide Spieler 2. Durch das Abweichen um eine Einheit (also auf 3) kann man nur eine Verschlechterung bewirken, unabhängig davon, was der andere Spieler wählt, ist die Auswahl 2 günstiger. Hier liegt also das sogenannte Nash-Gleichgewicht des Spiels. Die Wahl der Gleichgewichtsstrategie 2 durch beide Spieler ist im Endeffekt allerdings alles andere als vorteilhaft, da so nur minimale Auszahlungen erreicht werden können.

Realitaet:

Wirkliches Verhalten von Menschen im Urlauberdilemma[Bearbeiten]
Im Laufe der Zeit wurden mehrere Versuche durchgeführt, um herauszufinden, wie sich „echte“ Menschen im Urlauberdilemma verhalten. Fast immer gab (bei niedrigen Boni) die überwiegende Mehrheit das Maximum (in der ursprünglichen Version 100) an, der Rest verteilt sich zu ungefähr gleichen Teilen auf die drei Alternativen: Nash-Gleichgewicht, Werte dicht unter dem Maximum und zufällige Werte dazwischen. In jedem Fall lag der Durchschnitt der genannten Werte relativ hoch.

Die Chance, dass der "neue" Teilnehmer die richtige Tür wählt, liegt eben
doch bei 50:50.

Der Teilnehmer hat 2 Auswahlmöglichkeiten, Tor 1 oder Tor 2 oder anders: Gewinn oder Zonk.
Dementsprechend könnte man von einer Gleichverteilung der Gewinnwahrscheinlichkeit auf beide Tore ausgehen, dem ist aber nicht so.

Wenn die Produzenten, dank eines neuen Gesetzesvorschlags der SPD, die Wahrscheinlichkeiten auf beide übriggebliebenen Tore
projezieren müssten, würde dort nicht 50%/50% stehen...

Oder versteh ich dich einfach falsch?

LG
Broesler

Die Bezeichnung „Ich bleibe bei meiner (ersten) Entscheidung

(Zeitpunkt t0) sprich, der ersten Türauswahl“ ist sachlich (sprachlich)

falsch[/i]!
Die Entscheidung, bei dieser Tür zu bleiben ist eine neue Entscheidung
zum Zeitpunkt t1 in der Wertigkeit und Auswirkung genauso als würde man,
wie von Lager 66:33 erklärt, sich dann zu einem Wechsel nach Tür 2
bewegen.
Man bleib nicht bei der ersten Entscheidung, man trifft eine neue, die
lediglich inhaltlich zur Entscheidung t0 identisch ist. Das mag sein.

Aendert aber nichts daran, dass wenn Du eine NEUE Entscheidung triffst, die mit t0 identisch ist, Deine Chancen bei zwei Tueren bei 33% liegen. Du hast einen Informationsvorsprung, denn Du in Deiner Wahl beruecksichtigen kannst. Wenn noch zwei Tueren uebrig sind und ich als unbeteiligter hinzukomme, aber NICHT WEISS, welche Tuer Du zuerst gewaehlst hast, ist die Wahl aus meiner Sicht tatsaechlich 50:50, weil ich keinen Informationsvorsrpung habe.

Damit stimmen als die Excel Herleitungen des 66:33 Lagers durchaus, nur

wurde dort der Fakt „Entscheidung 2 zum Zeitpunkt t1 bei Tür 1 zu
bleiben, sprachlich nicht erfasst!

Dafuer bin ich zu bloed um das zu verstehen.

Es gibt Drei Wahrscheinlichkeiten.

1. Wahrscheinlichkeit. T0 Du hast 1/3 Chance auf Gewinn. Wenn Du bei T1 wechselst, erhoehst Du Deine Wahrscheinlichkeit auf 2/3, weil Du einen Informationsvorsprung hast

2. Wahrscheinlichkeit. Wenn ich als Unbeteiligter zum Zeitpunkt T1 hinzukomme und nicht weiss, welche Tuer Du gewaehlt hattst, waere meine Wahl tatsaechlich eine 50:50 Wahrscheinlicheit auf Gewinn

3. Wahrscheinlichkeit. Der Moderator hat immer 100% Chance auf Gewinn, da er weiss, hinter welchem Tor der Gewinn ist. Genau aus diesem Grund kann der Spieler auch seine Wahrscheinlichkeit erhoehen, da es sich diesen Informationsvorsprung zu nutze macht, wenn er wechselt.

ich muss mich entschuldigen. Ich hatte gerade bei einer langen Runde durch den Pool (der Nachbar hat meiner Tochter 20 Euro geboten, wenn sie ihn kehrt, damit Morgen Wasser reinkann, aber das Mädchen ist discokrank von gestern, also war ich ein guter Vater...) Gelegenheit, noch mal über dieses wirklich außerordentliche Rätsel nachzudenken.

Und siehe, ihr habt Recht.

Ich tue mich immer schwer, fertige Erklärungen (auch Simulationen) zu akzeptieren. Ich muss da irgendwie selbst draufkommen.

Ist gelungen, dem staubigen Pool sei dank.

Dazu habe ich die Ziege von hinten aufgezäumt, ich denke, so ist es für alle nachvollziehbar.

Ich will meinen Lösungsweg zu Eurer Lösung kurz erläutern.

Wir haben drei Türen, nach der Wahl liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter der von mir gewählten Tür befindet, bei 33%.

Logischerweise liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ich falsch liege, bei 66%.

Der Moderator nimmt nun eine der beiden anderen Türen aus dem Rennen. Dabei handelt es sich in jedem Fall um eine Ziegentür.

Die Wahrscheinlichkeit, dass meine gewählte Tür die Autotür ist, liegt nun immer noch bei 33 %.

Da aber die Gesamtwahrscheinlichkeit bei beiden verbliebenen Türen zusammen nach wie vor 100 ergeben muss (zumindest, solange der Moderator weiß, wo das Auto ist), ergibt sich, dass die Tür, die ich nicht gewählt habe, nun eine Autowahrscheinlichkeit von 66% hat.

Wechseln von meiner Tür auf die andere verdoppelt also meine Chance, das Auto zu erwischen.

Korrekt?

Man kann auch die Gegenprobe machen: In der ersten Runde beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ich das Auto NICHT habe, weil ich eine Ziegentür getippt habe, 66%. Der Moderator nimmt nun eine Ziegentür aus dem Rennen. Die Wahrscheinlichkeit, dass meine Tür eine Ziegentür ist, beträgt nun immer noch 66%. Die Wahrscheinlichkeit, dass die andere verbliebene Tür eine Ziege verbirgt, ist dagegen rechnerisch nur halb so hoch. Wechseln verdoppelt meine Chance.

Da lag ich zwie Tage lang falsch, weil ich die beiden Raterunden nie zusammen betrachtet habe.

Das Erstaunliche für mich ist dabei, dass es offenbar (ich habe darüber zuvor ehrlich gesagt nie nachgedacht) objektive und subjektive WEahrscheinlichkeiten gibt. Während ich als Teilnehmer am Spiel von Anfang an diese Wahrscheinlichkeit von 33%/66% habe, wäre jemand, der in der zweiten Stufe hinzukäme (also nachdem eine Tür ausgeschieden ist), mit dem Umstand konfrontiert, dass seine Chance, das Auto zu erwischen, immer bei 50/50 läge.

Das hat schon fast quantenphysikalische Momente, in denen man sich geistig völlig verlieren kann. Denn in Serie gerechnet müsste der später hinzukommende Rater besser liegen als der, der nie wechselt. Aber schlechter als der, der immer wechselt.

Wenn wir jetzt den menschlichen Faktor wegdenken und uns eine Versuchsanordnung vorstellen, in der ein Rateroboter stur wechselt, ein Roboter nie wechselt und einer jeweils in der zweiten Runde rein mechanisch eine der beiden Türen tippt, müsste sich eine klare Verteilung ergeben, bei der Roboter 1 in 66% der Fälle gewinnt, Roboter 2 in 50 % und Roboter 3 in einem Drittel der Versuche.

Richtig?

… auch wenn der zweite Kandidat die Vorgeschichte nicht kennt.
Nur hat er leider nichts davon, wenn er die Vorgeschichte nicht

kennt.

Eben! Dann beträgt die Gewinnchance genau 50:50.

Nein, auch für ihn beträgt die Gewinnschance 1/3 zu 2/3, er weiß es

nur

nicht.

Und weil er es nicht weiß, liegt seine Chance bei 50:50. Würde der
Teilnehmer wissen, dass der Spielleiter eine Niete öffnet, könnte er sich
dem Problem logisch nähern.
Nur das wollte ich damit sagen.

Seine Chance liegt eben nicht bei 50:50, ob er das Prinzip verstanden hat, ist nicht relevant.
Man darf sich nicht davon irritieren lassen, dass dem Game-Show-Teilnehmer nach Öffnen eines
Tores nur noch 2 Auswahlmöglichkeiten präsentiert werden...die Gewinnwahrscheinlichkeit
der beiden Mengen (mein Tor vs. alle anderen) ändert sich nach Entblößen der ersten Niete
nämlicht nicht. Es sei denn hinter den Toren werden Ziegen und Autos hin und her getauscht.

Ahoi
Broesler

Nun werden vom Moderator die Türen 3 bis 140.000.000 geöffnet, die
Gewinnerzahlen sind dort nicht aufzufinden. Wir werden nun gebeten Tür 1
oder Tür 2 zu wählen, welche nehmen wir? Glauben wir nur fest genug daran
aus all den Möglichkeiten von Beginn an die korrekte ausgewählt zu haben,
was extrem unwahrscheinlich wäre, oder wechseln wir zur Menge 2?

Danke, als ich DAS gelesen habe, hat es bei mir geschnackelt!

Ich finde es sehr interessant, daß ich diesen Vorteil von Menge 2 erst erkennen konnte, nachdem Du ihn so treffend herausgearbeitet hast.
Ich bilde mir ein, daß ich alles ergebnisoffen gelesen habe, aber irgendein Block muß dagewesen sein.
Ich danke auch allen anderen Erklärern, die sich zum Teil bis hin zu einsetzender Verzweiflung bemüht haben!

Wie Zara sagte:
"Der eine oder andere versteht bereits nach zehn Repetitionen, worum es geht, ein Zweiter nach hundert und ein Dritter erst nach deren tausend. Viele jedoch zeitlebens nie, selbst wenn in allen erdenklichen Varianten repetiert wird wie im Palikanon."

… auch wenn der zweite Kandidat die Vorgeschichte nicht kennt.
Nur hat er leider nichts davon, wenn er die Vorgeschichte nicht

kennt.

Eben! Dann beträgt die Gewinnchance genau 50:50.

Nein, auch für ihn beträgt die Gewinnschance 1/3 zu 2/3, er weiß es

nur

nicht.

Und weil er es nicht weiß, liegt seine Chance bei 50:50. Würde der
Teilnehmer wissen, dass der Spielleiter eine Niete öffnet, könnte er sich
dem Problem logisch nähern.
Nur das wollte ich damit sagen.

Nein, er kann sich dem Problem nicht logisch nähern, weil er nicht die Vorgeschichte kennt. Trotzdem hat eine der beiden Türen eine Gewinnschance von 1/3 und die andere von 2/3.

Obwohl... OK, jetzt sehe ich den Punkt. Natürlich weiß er, dass der
Leiter eine Niete öffnet. Er tut es ja.

Gut, gut... danke!

Er weiß aber nicht, WELCHE Tür der Spielleiter geöffnet hat und welche der erste Kandidat gewählt hat.

… auch wenn der zweite Kandidat die Vorgeschichte nicht kennt.
Nur hat er leider nichts davon, wenn er die Vorgeschichte nicht

kennt.

Eben! Dann beträgt die Gewinnchance genau 50:50.

Nein, auch für ihn beträgt die Gewinnschance 1/3 zu 2/3, er weiß es nur
nicht.

Und weil er es nicht weiß, liegt seine Chance bei 50:50. Würde der Teilnehmer wissen, dass der Spielleiter eine Niete öffnet, könnte er sich dem Problem logisch nähern.
Nur das wollte ich damit sagen.

Obwohl... OK, jetzt sehe ich den Punkt. Natürlich weiß er, dass der Leiter eine Niete öffnet. Er tut es ja.

Gut, gut... danke!

… auch wenn der zweite Kandidat die Vorgeschichte nicht kennt.
Nur hat er leider nichts davon, wenn er die Vorgeschichte nicht kennt.

Eben! Dann beträgt die Gewinnchance genau 50:50.

Nein, auch für ihn beträgt die Gewinnschance 1/3 zu 2/3, er weiß es nur nicht.

… auch wenn der zweite Kandidat die Vorgeschichte nicht kennt.
Nur hat er leider nichts davon, wenn er die Vorgeschichte nicht kennt.

Eben! Dann beträgt die Gewinnchance genau 50:50. Die Gewinnchance kennt der Kandidat erst zum Zeitpunkt t3. Nach der Auflösung.

Ich glaube jetzt, das ist ein Perspektiven-Problem. Ich betrachtete es aus der Teilnehmer-Sicht, andere aus der Beobachter-Perspektive.
Als Teilnehmer kennt man die Rahmenbedingungen nämlich gar nicht.

Ich hätte nicht gedacht, dass es auch diesmal wieder zwei Fraktionen gibt, und dass sie sich von einer Simulation nicht überzeugen lassen.

Es ist wirklich ein tolles Rätsel.

1. 1 - 1 - 2
Spieler erste 1, Spielleiter zweite 1. Wechsel lohnt.

2. 1 - 1 - 2
Spieler zweite 1, Spielleiter erste 1. Wechsel lohnt.

3. 1 - 1 - 2
Spieler 2, Spielleiter erste/zweite 1. Wechsel lohnt nicht.

Es gibt zwei Chancen, dass sich der Wechsel lohnt, aber nur eine Chance, dass sich der Wechsel nicht lohnt. So weit kann ich auch schon denken.

Ändert aber nichts daran, dass bei zwei Türen die Chance bei 50:50 liegt, wenn ich wechseln kann, aber nicht muss. Ich sagte nicht, ich wollte auf jeden Fall (wenn auch freiwillig) bei der erstgewählten Tür bleiben. Es ist dann einfach "egal". Sagt der Typ im Erklärvideo übrigens auch...

gib' es auf!

Keiner der Nichtversteher macht sich die Mühe die Simulation anzugucken und die weit über 50% liegende Trefferwahrscheinlichkeit zu erklären.

Die Übersetzung des lateinischen Verbs "intellegere" im Deutschen lautet
"einsehen, verstehen, erkennen".

Vielleicht soll aber auch einfach nur das Gesicht gewahrt werden...

Gruß
paranoia

Hallo Martin,

Stell Dir vor, auf allen drei Türen steht anfangs 33 %.

Eine Tür fällt weg - wir wissen, dass es eine Ziegentür ist.

Du wählst Tür 1: Mit 33% Wahrscheinlichkeit steht dahinter das Auto - bis dahin d'accord.

Im Umkehrschluss heißt das, hinter Tür 2 und 3 steht das Auto mit 66% Wahrscheinlichkeit.

Wenn Dir der Moderator nun anbietet, entweder Tür 2 und 3 gleichzeitig zu öffnen, oder bei Tür 1 zu bleiben, was machst Du?

Ich nehme an, Du wählst 2+3 zusammen (eine davon ist immer eine Ziege).

Im wirklichen Spiel nimmt Dir der Moderator die Arbeit ab, öffnet eine Tür, hinter der ganz sicher eine Ziege steht und stellt Dich wieder vor die Wahl 1 oder die noch geschlossene 2 oder 3. Die Situation ist exakt die zuvor (Du wusstest ja, dass hinter einer eine Ziege ist).

Die 66%-Wahrscheinlichkeit konzentriert sich nun nur noch auf die noch geschlossene Tür.

Zum Etikett:

Wenn Du vor zwei Türen stehst, und auf der einen Tür steht, dass dahinter mit 33% Wahrscheinlichkeit ein Auto steht, auf der zweiten mit 66%. Welche Tür wählst Du?

Wenn ich Lotto spiele

Grüezi Orlando und @all,

Lotto statt Türen ist das perfekte Beispiel.
Die Sendung "Geh auf's Ganze" wird modifiziert, der Moderator bleibt natürlich.

Laut LOTTO-Homepage liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit für 6 Richtige plus Superzahl bei 1 zu 140 Millionen, die Kulissenbauer haben also Extraschichten geschoben und 140 Millionen Türen aufgebaut und hinter jeder eine der möglichen Zahlenkombination aus 6 aus 49 angebracht.

Wir sollen uns nun eine Tür (beim Lotto direkt: Zahlenkombination) aussuchen und nehmen Tür 1 (Lotto direkt: 1,2,3,4,5,6, Superzahl 0). Dies ist Menge 1.

Menge 2 besteht aus den Türen 2 bis 140.000.000 (Lotto direkt: allen anderen Kombinationen), von der Wahrscheinlichekit her gesehen, liegt die richtige Lotto-Kombination mit 139.999.999 zu 140.000.000 in Menge 2.

Nun werden vom Moderator die Türen 3 bis 140.000.000 geöffnet, die Gewinnerzahlen sind dort nicht aufzufinden. Wir werden nun gebeten Tür 1 oder Tür 2 zu wählen, welche nehmen wir? Glauben wir nur fest genug daran aus all den Möglichkeiten von Beginn an die korrekte ausgewählt zu haben, was extrem unwahrscheinlich wäre, oder wechseln wir zur Menge 2? Die ursprünglichen Eintrittswahrscheinlichkeiten bleiben bestehen, die richtige liegt Kombination dementsprechend höchst-, höchst-, höchstwahrscheinlich in Menge 2. Sollte irgendjemand da draußen selbstbewusst genug sein und bei seiner ursprünglichen Wahl (Gewinnwahrscheinlichkeit gegen Null) bleiben, chapeau und lol. Der einzige Gewinn wird Lehrgeld sein.

Um das nochmal deutlich zu machen: Man spielt Lotto, sucht sich eine Kombination aus. Später am Abend kommt der Lotto-Chef persönlich bei einem vorbei und erklärt, die kommende Ziehung bereits jetzt zu kennen. Da er die genaue Kombination nicht verraten möchte, bietet er folgendes an:

"Werter Harry, du hast einen Schein mit den Zahlen 1,2,3,4,5,6 und der Superzahl 0. Ich kann dir versichern, entweder gewinnt deine Kombi (Menge 1) oder eine der möglichen anderen (Menge 2). Na gut, weil du es bist...es ist entweder 1,2,3,4,5,6 + 0 oder 5,6,7,8,9,10 + 1. Wenn du glaubst den Jackpot angekreuzt zu haben, bleib bei deinem Schein, solltest du dir nicht sicher sein, gib ihn mir und du erhälst, sollten andere Zahlen als deine gezogen werden, einen Schein mit der korrekten Kombination."

Was macht Harry?

Wo liegt der Unterschied bezogen auf das 3-Türen-Beispiel?

Es gibt vom Prinzip her keinen! Der einzige Unterschied ist, dass sich unsere Gewinnwahrscheinlichkeit durch Wechseln der Tür immer weiter den 66% nähert, je weniger Türen ursprünglich zur Auswahl standen.
((edit) Ab 2 Türen macht das Spiel keinen Sinn mehr.)

Solltet ihr also beim Revival von "Geh auf's Ganze" Kandidat sein, könnt ihr dieses Rätsel vergessen, denn ihr steht höchstwahrscheinlich nur einmal vor der Wahl. In diesem Falle hört auf euer Bauchgefühl, die Wahrscheinlichkeit gleicht dem eines Münzwurfes. Solltet ihr aber 1 Million Mal vor dieselbe Frage gestellt werden, wechselt jedes Mal. Das Gesetz der großen Zahlen wird für mehr Gewinne als Zonks sorgen.

Schönes Wochenende
Broesler

Hallo Martin,

Wahrscheinlichkeit ist aber kein Ding, was sich zuvor geschehene Dinge
"merkt". Wahrscheinlichkeit ist immer jetzt, jeder Würfel fällt für
sich, immer beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Sechs wird, 1/6,
selbst wenn zuvor bereits 1000 Mal eine Sechs fiel.

Man kann da nichts addieren oder Wahrscheinlichkeiten anreichern.

Stell Dir vor, auf allen drei Türen steht anfangs 33 %.

Eine Tür fällt weg - wir wissen, dass es eine Ziegentür ist.

Auf den beiden verbliebenen Türen steht nun eine 50 % als
Wahrscheinlichkeit.

Nein, tut es nicht. Wissen Sie warum?
Weil zwischen den Türen 1 und 2 nicht noch einmal neu verteilt/ gewürfelt wurde.

Wenn ich Lotto spiele, habe ich ebenfalls nur zwei Möglichkeiten, entweder gewinne oder verliere ich. Da könnte man auch behaupten, die Chance sei 50%, was aber falsch ist.

Risiko, dann doch nur 99 zu kriegen, weil der andere sich das
gleiche gedacht hat, bringt keine bessere Gewinnerwartung.

Doch. Ich kann 101 statt 100 Euro bekommen.

Die sind dir aber nicht sicher. Im Gegenteil, die Chance auf die 101 ist vergleichsweise gering. Die 100 dagegen sind sicher, wenn sich beide rational verhalten. Für einen so mickrigen Zusatzertrag von der optimalen Entscheidung abzuweichen ist irrational. Anders wäre es, wenn Malus und Bonus deutlich höher wären. Am interessantesten wäre die Aufgabe eigentlich, wenn es überhaupt keinen festgelegten Höchstwert gäbe.

Beiden Beteiligten muss klar sein, dass sie
100 Mäuse bekommen, wenn sie beide 100 wählen.

Sie duerfen nicht kommunizieren.

Das ist bei dieser offensichtlichen Sachlage auch gar nicht nötig, das sollte jeder für sich klar erkennen können.

Schönes Wochenende
NBK

Da wir gerne knobeln (Deine Bedingungen gelten fortgesetzt, also nicht danach googeln o. Ä.):

Ein Gefangener sitzt in einer Zelle mit zwei Türen.
An jeder Tür steht ein Wächter.
Die beiden Wächter sind Brüder.
Der eine Wächter lügt nie, der andere Wächter lügt immer.
Eine der beiden Türen endet in der Todeszelle, die andere Tür führt in die Freiheit.

Der Gefangene darf nur eine Frage an jeden einzelnen Wächter stellen, um dem Tod zu entgehen.

Diese Frage muss er mit gleichem Wortlaut beiden Wächtern stellen.

Aus der Antwort der Wächter muss er die Tür zur Freiheit ermitteln.

Was muss der Gefangene fragen, um die Tür in die Freiheit zu finden?

FF (Fiel Fergnügen)
Spek

Wahrscheinlichkeit ist aber kein Ding, was sich zuvor geschehene Dinge "merkt". Wahrscheinlichkeit ist immer jetzt, jeder Würfel fällt für sich, immer beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Sechs wird, 1/6, selbst wenn zuvor bereits 1000 Mal eine Sechs fiel.

Man kann da nichts addieren oder Wahrscheinlichkeiten anreichern.

Stell Dir vor, auf allen drei Türen steht anfangs 33 %.

Eine Tür fällt weg - wir wissen, dass es eine Ziegentür ist.

Auf den beiden verbliebenen Türen steht nun eine 50 % als Wahrscheinlichkeit.

Keine der beiden Türen weiß, auf welche ich gesetzt habe.

Ich weiß nicht, wo das Auto steht.

Das ist aber auch egal, denn wir wissen: Das Auto ist zu 50 % da und zu 50 % dort.

Die Vorgeschichte und die Interaktion des Moderators spielt überhaupt keine Rolle mehr, weil meine beiden Handlungsoptionen an die 50:50-Wahrscheinlichkeit geheftet sind: Ich kann meine Tür wechseln. Oder bei meiner Tür bleiben.

Beide Entscheidungen sind "neu" und haben nichts mit meiner Entscheidung aus der ersten Runde zu tun. Deshalb trägt die von mir zuerst gewählte Tür auch kein 33%-Etikett, sondern eins mit 50%. Ein Würfel, mit dem viermal die Sechs geworfen wurde, hat ja auch nach wie vor die Wahrscheinlichkeit 1:6, dass der fünfte Wurf wieder eine Sechs ist.

ich versuche, das Ganze zu verstehen, also mit eigener Logik zu erschließen. da hilft mir eine Wikipedia-Eintrag in der Regel nicht.

Das Problem ist die selektive Wahl die der Moderator trifft. Dadurch geht
normale Wahrscheinlichkeitsrechnung kaputt. Wuerde der Moderator eine Tuer
zufaellig wegnehmen (und nicht oeffnen), waere fuer die verbleibenden
beiden Tueren die Wahrscheinlichkeit 1/3 und 1/3, sowie 1/3, dass der
Gewinn entfernt wurde.

Genau.

Siehe es mal so. Wenn Du hundert Tueren hast, ist die Wahrscheinlichkeit
1% pro Tuer. Der Moderator koennte aber den Gewinn mit 100%
Wahrscheinlichkeit bekommen, da er weiss, hinter welcher Tuer er ist. Auf
Grund dieser Informationsassymmetrie waere eine Wahl des Moderators nicht
1%, sondern 100%.

Bis hierher völlig richtig.

Genau diesen Umstand kannst Du Dir bei Wechsel zu Nutze

machen.

Ja, denn der Moderator eliminiert für dich alle "nutzlosen" Türen bis auf eine plus eine weitere: Eine kann er nicht öffnen, weil das Auto dahinter ist, die andere kann er nicht öffnen, weil du drauf getippt hast - oder aber umgekehrt.

Wierum es ist, weiß Du, wenn die vorletzte Tür geöffnet wird. Die Chance, ob es so oder so rum ist, beträgt immer 50:50, egal, ob vorher 30, 3 Millionen oder 300 Milliarden Türen geöffnet wurden.

ich habe den Eindruck, das war ungefähr das, was ich die ganze Zeit veruschte, klarzumachen.

Auch hier, wie in Posting (Türfrage-Lösung) beschrieben ist die Quintessenz falsch!

Die Psychopathie steckt in der Fragestellung. Oder der ursprüngliche Fragesteller ist der Psychopath (haben wir es nicht schon immer geahnt, mit einem Denkverweis auf die Berufsgruppe, Scherz am Rande)
Bei wie viel Menschen unter uns, gehört (das signifikante psychopathische Wort) „erschießen“ zum Tagesgeschäft?

Was hätte derjenige, der das ablehnt, dem die Psychopathie hernach also nicht unterstellt würde, also sagen sollen?

Ich lehne die Lösung dieser Fragestellung ab, weil Erschießen nicht zu meiner Repertoire gehört?

Die korrekte Frage, (wenn man der Psychopathie überführen möchte) hätte lauten müssen, was würden Sie an der Stelle der Frau tun, (im Vortext fehlt auch der Verweis, daß sie eine Schwester hat), um den Mann wiederzusehen?

Und dann bewegen wir uns wieder zurück zur grade angesprochenen Berufsgruppe.

Und was stellen wir fest?

Drohende Beschäftigungslosigkeit!

Also hilft sie der Psychopathenquote mit lancierten Fragestellung ein wenig auf die Sprünge und sichert sich damit ihre Pfründe!

Kapitalismus Freunde, es ist und bleibt die Natur des Kapitalismus, die Sicherung der eigenen Existenz auf Kosten seiner Nächsten!

Da wir aber wie viele viele andere Völker auch ein Grundvertrauen zum Gegenüber pflegen, vermuten wir nicht im Geringsten diesen kernkapitalistischen Ansatz beim jeweiligen Gesprächspartner, in dem Fall sogar im geheiligten weißen Kittel.

Edit:
Korrektur:
Nicht der ursprüngliche Fragesteller ist Psychophath, er stellt die Fragen so, dass der Psychophathen produziert.

Brainstorming, aus Zeitgründen

Also das Beste vorweg: Beide Lager haben Recht
Einschränkung, Eines ein klein wenig mehr, aber nicht aus mathematischen Gründen.

Erklärung
Bei der Suche nach der Lösung haben wir uns auf „Tabellen und Formeln“ (Nachschlagewerk der Abiturklassen) vereinfacht gesagt konzentriert, und dabei übersehen, daß die Lösung im Duden steht.

Begründung
Die Bezeichnung „Ich bleibe bei meiner (ersten) Entscheidung (Zeitpunkt t0) sprich, der ersten Türauswahl“ ist sachlich (sprachlich) falsch!
Die Entscheidung, bei dieser Tür zu bleiben ist eine neue Entscheidung zum Zeitpunkt t1 in der Wertigkeit und Auswirkung genauso als würde man, wie von Lager 66:33 erklärt, sich dann zu einem Wechsel nach Tür 2 bewegen.

Man bleib nicht bei der ersten Entscheidung, man trifft eine neue, die lediglich inhaltlich zur Entscheidung t0 identisch ist.

Damit stimmen als die Excel Herleitungen des 66:33 Lagers durchaus, nur wurde dort der Fakt „Entscheidung 2 zum Zeitpunkt t1 bei Tür 1 zu bleiben, sprachlich nicht erfasst!

Lager 50:50 liegt also auf der Zielgeraden eine Schrittlänge voraus, weil es intuitiv handelte, ohne den Fehler in der Aufgabenstellung tatsächlich so zu isolieren, wenngleich ich meine, bei dem einen oder anderen posting diese Richtung angebend schon gelesen zu haben @ppq oder @martin

Nebengeplänkel
Keine Ahnung warum, aber als „Geh auf´s Ganze“ Konsument, wo es keine Ziegen sondern den Zonk gegeben hat, hat sich hier noch keiner geoutet.
Hiermit tue ich es.
Jörg Dräger, der Spielleiter, versuchte stets seine Teilnehmer, im Sinne, daß eben nicht jeden Tag 60.000 Euro (edit: DM) unters Volk geschmissen wurden, auf die Route des Lagers zu bringen, welches sich hier als das 66:33 Lager abbildet.
Der Wechsel in letzter Minute führte i.d.R. zum Zonk, das Beibehalten der ersten Entscheidung durchaus eher zum Gewinn.

Dort wurde die Gewinnwahrscheinlichkeit, mit jeder neuen Runde, „...oder nehmen Sie den Umschlag..“, statt Tor 1 faktisch vielmehr minimiert, da aus den ursprünglichen 50:50 schlechtere Relationen wurden, wenngleich es, der Verlockung halber in den Umschlägen auch mal erneut Verweise auf Tor1, dem Auto, gegeben hat.

Beim Superdeal setzte man sogar seine bereits erhaschten Gewinn wieder ein, um ein größeres Auto oder Reise zu gewinnen. Auch dort, die neue Entscheidung, die Verschlechterung der mathematischen Gewinn-Quote die Minimierung der Gewinnausschüttungsquote des Senders.

Jörg Dräger schaffte es ziemlich punktgenau die mutmaßlich beabsichtigte Bilanz des Senders einzuhalten weder alles rauszuballern noch gar nichts rauszugeben.

Es lässt sich nicht 100%ig auf unsere Fragestellung übertragen, aber in großen Abschnitten durchaus.

PS
Es ist fast wie im richtigen Leben, weshalb ich dankbar für diesen Beitrag bin.
Denn auch im Leben konfrontieren i.d.R. Lager die inhaltlich u.U. sogar auf gleichem Kurs sind, die sich aber allein sprachlich, sogar innerhalb der selben Muttersprache „auf´s Glatteis“ führen lassen.
(Und jetzt kommen die Parallelgesellschaften noch dazu!)
Um wie viel problematischer wird es wenn, wie derzeit von den Schulen praktiziert, eine Rechtschreibung toleriert wird, die sich durch die Dialekte schon zwischen Berlin und Hannover unterscheidet („Hart aber Fair“ letzte Woche, Korrekturen, also die Richtigstellung und Schreibung der Schrift der Kinder durch die Eltern, seien von den Schule nicht erwünscht), was dazu führt, dass sich Schüler der unteren Klassen zwischen Berlin und Hannover schon nicht mehr schriftlich verständigen können. Was ist dann mit Schülern von Stuttgart und Hamburg? Ach, und Bayern gibt’s ja auch noch, oder Sachsen!
Die Sprache, die gleichen Regeln, die Möglichkeit sich über Hunderte Kilometer zweifelsfrei austauschen zu können, ist unsere wertvollste und wichtigste Gemeinsamkeit Freunde!
Das Land der Dichter und Denker, lässt sich aber just im Moment von der Kultusministerkonferenz seiner Sprache berauben!

Am Beispiel sehen wir, wie signifikant wichtig es ist, die grad im Vergleich zu vielen anderen Sprachen enorm hohe Präzision, die in unserer Muttersprache steckt, nicht nur zu kennen, sondern auch zu pflegen!

Weiterhin viel Spass dabei!

Aber ich denke, Du irrst. Da der Moderator alle Ziegentüren abräumt,
während er die von dir gewählte und die Autotür nicht öffnen darf, ist
die ganze angebliche Anfangswahrscheinlichkeit von 999/1 ein Fake.

Aha.

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Tipp richtig zu liegen, liegt in
Wirklichkeit von Anfang an bei 50/50,

Du erinnerst mich ein wenig an die alte Dame, ueber die ein Astronom in einem Buch schrieb. Nach einem Vortrag ueber Astronomie, kam die alte Dame zu ihm und sagte: Gnaediger Herr, alles was sie hier erzaehlen ist Unsinn. In Wirklichkeit ruht die Erde auf dem Ruecken einer grossen Schildkroete.

Daraufhin er, wohlwollend und grosszuegig: Aber auf was steht die Schildkroete?

Die alte Frau: Sehr witzig der Herr. Natuerlich auf einer anderen Schildkroete!

Die Simulationen gehen davon aus, dass ich bei meiner Wahl bleibe. Dem ist
aber nicht zwingend so. Ich wähle die Tür, die ich vorher wählte,
erneut. Die Chance, zu gewinnen, liegt also bei 50/50.

Du willst es nicht verstehen. Ja, Du waehlst Die Tuer, die 1/3 Wahrscheinlichkeit hatte, erneut und bleibst deshalb bei 1/3 Wahrscheinlichkeit. Genau so, wie das jede Simulation vorhersagt.

Nimm drei Wuerfelbecher und spiele es 20 mal mit Deiner Freundin durch.

Als Teilnehmer an so einem Spiel würde ich gedanklich die dritte Tür
streichen und zwischen den verbleibenden Türen wählen: 50/50.

Nur in Rybezahls Welt...

Aber ich biete Dir an, das Spiel gegen Geld zu spielen. 20 Mal. Einsatz jeweils 100 Euro. Ich wechsle immer, Du bleibst immer bei Deiner ersten Wahl. Bei dem Spiel solltest Du, bei 50%:50% etwa plus/minus Null rauskommen. Wann spielen wir?

Gefragt wird immer, ob sich ein Wechsel empfiehlt. Und man muss sich klar sein, dass diese Entscheidung nicht zwischen Ziege und Auto, sondern zwischen x% Wahrscheinlichkeit Auto und y% Wahrscheinlichkeit Auto passiert.

Durch die Vorgeschichte und die Interaktion des Moderators haben sich auf den Türen zwei imaginäre Etiketten gebildet. Bei 3 Türen: Die von Dir zuerst gewählte Tür trägt das Etikett 33%, die andere 66%.

Du wählst nicht zwischen zwei unbekannten Türen, sondern zwischen zwei inzwischen bekannten unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten.

Die 1000 Türen nochmal:

Deine erste statistische Wahl hat die Wahrscheinlichkeit 1:999, Du klebst auf Deine Tür das Etikett 0,1%.
Der Moderator schenkt Dir (ob nun auf einen oder viele Schritte) das Etikett 99,9% auf die zweite Tür.

Wenn Du jetzt unbekanntermaßen wie bei der ersten Wahl zwischen nun zwei Türen entscheidest ist die Wahrscheinlichkeit richtig 1:1, dass Du das Auto bekommst.

Wenn Du aber zwischen den zwei Etiketten entscheidest, wählst Du direkt die Wahrscheinlichkeit für das Auto. Durch den Ablauf ist aber die höhere Wahrscheinlichkeit immer die nicht zuerst gewählte Tür, daher 'Wechsel'.

Beide Betrachtungen sind in sich richtig, der zweite Angang aber erfolgsversprechender.

Das Problem ist die selektive Wahl, die der Moderator trifft. Dadurch geht normale Wahrscheinlichkeitsrechnung kaputt. Wuerde der Moderator eine Tuer zufaellig wegnehmen (und nicht oeffnen), waere fuer die verbleibenden beiden Tueren die Wahrscheinlichkeit 1/3 und 1/3, sowie 1/3, dass der Gewinn entfernt wurde.

Siehe es mal so. Wenn Du hundert Tueren hast, ist die Wahrscheinlichkeit 1% pro Tuer. Der Moderator koennte aber den Gewinn mit 100% Wahrscheinlichkeit bekommen, da er weiss, hinter welcher Tuer er ist. Auf Grund dieser Informationsassymmetrie waere eine Wahl des Moderators nicht 1%, sondern 100%. Genau diesen Umstand kannst Du Dir bei Wechsel zu Nutze machen.

… und an an einem Punkt kommen mir Zweifel, obwohl ich (nicht zuletzt
aufgrund der Simulationen) von der 1/3 bzw. 2/3-Wahrscheinlichkeit
überzeugt bin.

Das ist auch richtig Elli.

Also nochmal kurz der Ablauf:
Der Kandidat wählt eine Tür (z.B. Tür 1), der Spielleiter öffnet eine
Ziegentür (z.B. Tür 3). An dieser Stelle wissen wir, dass Tür 1 eine
1/3-Gewinnschance hat und Tür 2 hat eine Gewinnschance von 2/3. Diese
Verteilung kennen wir, weil wir die Vorgeschichte kennen.

Ja.

Zu diesem Zeitpunkt kommt ein zweiter Kandidat ins Spiel. Er kennt die
Vorgeschichte nicht und sieht nur zwei geschlossene Türen (1 und 2) und
eine geöffnete Ziegentür (3). Er weiß nur, dass hinter einer Tür das
Auto steckt und hinter einer Tür eine Ziege.

Wie sind seine Gewinnchancen bei Tür 1 und Tür 2?
1/3 zu 2/3 oder 50/50?

Die Frage ist ungeschickt gestellt. Aber sie ist tatsaechlich 50:50, weil er Deinen Informationsvorsprung nicht hat. Du darfst Zufall niemals mit selektiver Wahl (Ziegenproblem) oder Informatonsassymmetrie kombinieren. Denn dann wird es schwierig.

Zurueck zum Ziegenproblem. Nehmen wir der Einfachheit keine Tueren, sondern Wuerfelbecher. Nur unter einem Becher liegt ein Wuerfel. Ich waehle einen Becher. Der Moderator nimmt einen anderen Becher hoch und sagt, siehe, hier ist kein Wuerfel. Willst Du Wechseln? Tatsaechlich erhoehe ich meine Gewinnchance durch einen Wechsel auf 66%. ABER, jetzt die Modifikation: Ich bekomme die Augen verbunden und der Moderator darf nach belieben meinen Becher und den letzten Becher vertauschen. Tatsaechlich ist dann, durch den Verlust der Information, die Warscheinlichkeit auf 50% gesunken, bzw. gestiegen.

Risiko, dann doch nur 99 zu kriegen, weil der andere sich das gleiche
gedacht hat, bringt keine bessere Gewinnerwartung.

Doch. Ich kann 101 statt 100 Euro bekommen.

Dann kann Nash sich meinetwegen für die 2 Euro 'ne Kugel Eis kaufen, aber
ich nehme immer noch die 100. Beiden Beteiligten muss klar sein, dass sie
100 Mäuse bekommen, wenn sie beide 100 wählen.

Sie duerfen nicht kommunizieren.

nein, der Kandidat hat sich auch nicht im Geiste für eine Tür entschieden.

Er hat sich eben gar nicht entschieden und hatte ursprünglich 3 Türen zur Auswahl und jetzt nur noch 2.

Du wirst mir sicherlich zustimmen, dass in dem Fall das Chancenverhältnis von 33% auf 50% wechselt?

Da kann man die 50:50 Fraktion schon etwas verstehen. Denn wenn alleine dadurch, dass der Kandidat eine Wahl trifft, geistig oder verbal, das Chancenverhältnis bei einem Wechsel auf 66% steigen soll, ist das schon schwer nachvollziehbar.

Aber so sieht man eben auch die Lösung des Problems. Die 66% entstehen eben nur aus dem Blickwinkel des Kandidaten.
Jeder Dritte, der zum Zeitpunkt, wo nur noch zwischen zwei Türen ausgewählt werden muss, die Szene betritt und eine Tür wählen soll hat ein 50:50 Chancenverhältnis.

lg

siggi

Hallo Elli,

ich stelle mir gerade die Frage, wenn man den Ablauf nur ganz wenig
ändert.

Der Kandidat soll sich für eine der drei Türen entscheiden, aber

bevor

er seine Entscheidung ausspricht, sagt der Moderator, halt, ich gebe

ihnen

noch eine kleine Hilfe und öffnet eine Tür mir einer Ziege dahinter.

Die tatsächliche Handlung, das Aufmachen einer Ziegen-Tür durch den
Moderator, ist ja exakt gleich geblieben.

Aber wie sieht jetzt das Chance- Risikoverhältnis der beiden übrig
gebliebenen Türen aus?

Hallo Siggi,

wenn der Moderator nicht die Tür öffnet, die der Kandidat im Geiste
gewählt hat, dann handelt es sich um das gleiche Chancenverhältnis (33%
beim stehenbleiben vs. 66% beim Wechsel).
Wenn der Moderator aber die Tür öffnet, die der Kandidat zuvor im Geiste
auserkoren hat, dann beginnt das Spiel quasi von Neuem und die Chancen
stehen dann in der Tat 50:50.

Beste Grüße
Phoenix5

Beste Grüße
Phoenix5

Der Spielleiter darf auch die ausgewählte Tür öffnen. Befindet sich hinter dieser Tür das Auto, liegt die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen, bei 0/0, vorausgesetzt, die vom Spielleiter geöffnete Tür muss gewechselt werden.

faszinierender Denksport!

Aber ich denke, Du irrst. Da der Moderator alle Ziegentüren abräumt, während er die von dir gewählte und die Autotür nicht öffnen darf, ist die ganze angebliche Anfangswahrscheinlichkeit von 999/1 ein Fake.

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Tipp richtig zu liegen, liegt in Wirklichkeit von Anfang an bei 50/50, denn die von dir gewählte Tür ist in jedem Fall entweder eine Ziegentür (50% Wahrscheinlichkeit) oder eine mit einem Auto (ebenfalls 50 %).

----------------------------------------------------------------
Der Trick ist der, dass beim Abräumen des Moderators die anfängliche
Wahrscheinlichkeit von 2(:1) bzw. 999(:1) Türen auf 1(:1) Tür übertragen
wird, da der Moderator eben immer nur Ziegentüren abräumt.

Oder reicht es bei dem Gedankenspiel, einmal zu wechseln? Oder ist das egal?

Im 1000-Türen-Beispiel bliebe ich so lange bei meiner Tür z.B. Nr. 840, wie die nicht geöffnet wird. Sind noch zwei übrig, liegen meine Chancen bei 50/50, ob ich nun zwischendurch zehnmal oder 50-mal oder 300-mal gewechselt habe, oder?

Da der Moderator meine Tür ja nicht öffnen darf (so habe ich das verstanden), führt der Spielaufbau so automatsich dazu, dass das Spiel, den ganzen Brimborium am Anfang weggedacht, ohnehin ein Spiel ist, bei dem die Gewinnchance bei 50/50 liegt.

Der Trick bei dem Gedankenspiel ist, es am Anfang aussehen zu lassen wie ein Spiel mit der Chance 1/3. Das ist es aber nicht.

sorry, ich war unterwegs. Aber genau das waren meine Gedanken: Wahrscheinlichkeit richtet sich ja nicht nach dem, was wir glauben, sie ist rein mathematisch.

Nehmen wir den Fall, dass der Spielleiter genausowenig wie der Rater weiß, wo das Auto ist. Wie hoch sind seine Chaben, eine Ziege zu erwischen? 2/3. Er wird also bei jedem dritten Durchgang das Auto wegnehmen.

Wie verändern sich die Chancen des Raters dadurch? Logisch, auf 0/2.

Ich denke inzwischen, dass die Tücke des Gedankenspiels in der Wiederholung liegt. Macht man eine Rateserie daraus, sieht es aus, als würde der, der immer wechselt, damit quasi eine höhere Wahrscheinlichkeit auf seinen Tipp ziehen.

In Wirklichkeit weiß das Auto aber gar nicht, ob er gewechselt hat, denn es bleibt auch dort, wo es ist, wenn er schon bei 1/3 richtig lag.
Es ist verwirrend wie ein Möbiusband. Deshalb Hände weg vom Hütchenspiel.

Die Simulationen gehen davon aus, dass ich bei meiner Wahl bleibe. Dem ist aber nicht zwingend so. Ich wähle die Tür, die ich vorher wählte, erneut. Die Chance, zu gewinnen, liegt also bei 50/50.

Als Teilnehmer an so einem Spiel würde ich gedanklich die dritte Tür streichen und zwischen den verbleibenden Türen wählen: 50/50.

Das Folgende sollten nur diejenigen lesen, die ebenfalls von der 1/3 bzw. 2/3-Wahrscheinlichkeit überzeugt sind.

Also nochmal kurz der Ablauf:
Der Kandidat wählt eine Tür (z.B. Tür 1), der Spielleiter öffnet eine Ziegentür (z.B. Tür 3). An dieser Stelle wissen wir, dass Tür 1 eine 1/3-Gewinnschance hat und Tür 2 hat eine Gewinnschance von 2/3. Diese Verteilung kennen wir, weil wir die Vorgeschichte kennen.

Zu diesem Zeitpunkt kommt ein zweiter Kandidat ins Spiel. Er kennt die Vorgeschichte nicht und sieht nur zwei geschlossene Türen (1 und 2) und eine geöffnete Ziegentür (3). Er weiß nur, dass hinter einer Tür das Auto steckt und hinter einer Tür eine Ziege.

Wie sind seine Gewinnchancen bei Tür 1 und Tür 2?
1/3 zu 2/3 oder 50/50?

Der höchste Betrag, der überhaupt erzielt werden kann, wäre 101,
nämlich dann, wenn einer der beiden 100 wählt und der andere 99. Aber

die

Strategie, deshalb 99 zu wählen, um eine Mark mehr rauszukriegen, mit

dem

Risiko, dann doch nur 99 zu kriegen, weil der andere sich das gleiche
gedacht hat, bringt keine bessere Gewinnerwartung.

Ich weiss, dass Du so denkst und Du 99 waehlst.

stimmt doch gar nicht - ich habe dir doch gerade erklärt, dass und warum ich nicht so denke! Schon die Idee, auf 99 runterzugehen, bringt keinen Vorteil bei der Gewinnerwartung, deshalb gibt es auch keinen Grund, weiter runterzugehen.

Die einzig rationale Antwort ist: 2.

Dort liegt das Nash equilibrium.

Dann kann Nash sich meinetwegen für die 2 Euro 'ne Kugel Eis kaufen, aber ich nehme immer noch die 100. Beiden Beteiligten muss klar sein, dass sie 100 Mäuse bekommen, wenn sie beide 100 wählen. Also tun sie das auch. Das ist eine Win-Win-Situation und kein Dilemma. Ein Dilemma wird es erst dann, wenn man auf Teufel komm raus dem anderen nichts gönnt oder sich nur dann als Sieger betrachtet, wenn man unbedingt MEHR kriegen muss als der andere. (Und selbst das wird nicht klappen, weil nach dieser Logik ja beide bei 2 landen würden)

Und jetzt geh ich meiner Frau und mir ein Eis kaufen. Schönes Wochenende :)

Der höchste Betrag, der überhaupt erzielt werden kann, wäre 101,
nämlich dann, wenn einer der beiden 100 wählt und der andere 99. Aber die
Strategie, deshalb 99 zu wählen, um eine Mark mehr rauszukriegen, mit dem
Risiko, dann doch nur 99 zu kriegen, weil der andere sich das gleiche
gedacht hat, bringt keine bessere Gewinnerwartung.

Ich weiss, dass Du so denkst und Du 99 waehlst. Also waehle ich 98 und bekomme wenigsten 100. Nur leider weisst Du, dass ich so denke, und waehlst wiederum 97, da ich allerdings auch davon ausgehen muss, bleibt mir nichts anderes uebrig als 96 zu waehlen. Worauf Du wiederum....

Die einzig rationale Antwort ist: 2.

Dort liegt das Nash equilibrium.

http://www.dasgelbeforum.net/img/up/user/Gewinnspiel.xls

ich wüsste nicht, was die beiden daran hindern sollte, jeweils "100" auf den Zettel zu schreiben und jeder 100 Kröten für ihre angeblich "antiken" Vasen aus der Südsee einzusacken.

Der höchste Betrag, der überhaupt erzielt werden kann, wäre 101, nämlich dann, wenn einer der beiden 100 wählt und der andere 99. Aber die Strategie, deshalb 99 zu wählen, um eine Mark mehr rauszukriegen, mit dem Risiko, dann doch nur 99 zu kriegen, weil der andere sich das gleiche gedacht hat, bringt keine bessere Gewinnerwartung. Also, wenn beide rational handeln und auch davon ausgehen, dass der andere rational handelt, sollten sie beide 100 wählen.

Anders sähe es natürlich aus, wenn sie sich schon auf der Insel kennengelernt und mächtig zerstritten hätten, so dass sie sich gegenseitig nicht die Butter auf dem Brot gönnen.

Ahoi
NBK

Hi,

Fall 1: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1.

Spielleiter

öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 3 -> verloren

Fall 2: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1.

Spielleiter

öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 2 -> verloren

Fall 3: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 2.

Spielleiter

öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen

Fall 4: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 3.

Spielleiter

öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen

Deine Fälle 1 und 2 sind nur ein Fall, denn die Regel lautet, der
Spielleiter öffnet nach Wahl eine Niete.

Nach Deiner Logik sind dann auch die Fälle 3 und 4 nur ein Fall.

Nein, nach der (und meiner ) Logik gibt es drei Fälle, nämlich Gewinn hinter Tür 1 und drei Möglichkeiten der Wahl des Spielers. Wenn man die Möglichkeiten des Spielleiters, der ja eine von zwei Türen öffnet, dazunehmen will (was man nicht muss), erhält man 3x2=6 Fälle, was wieder die Verteilung 33:66 ergibt.

Was sagst Du zu meiner "ultimativen" Vereinfachung oben?

Gruß
Orlando

Fall 1: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1. Spielleiter

öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 3 -> verloren

Fall 2: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1. Spielleiter

öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 2 -> verloren

Fall 3: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 2. Spielleiter

öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen

Fall 4: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 3. Spielleiter

öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen

Deine Fälle 1 und 2 sind nur ein Fall, denn die Regel lautet, der
Spielleiter öffnet nach Wahl eine Niete.

Nach Deiner Logik sind dann auch die Fälle 3 und 4 nur ein Fall.
Man kann es auch so zusammenfassen:

Fall 1: Auto hinter Tür A. Spieler wählt Tür A (d.h. die mit dem Auto). Spielleiter öffnet Tür B (Niete). Auswahl wechseln auf Tür C => verloren, da dort ebenfalls Niete.

Fall 2: Auto hinter Tür A. Spieler wählt Tür B (d.h. eine Niete). Spielleiter öffnet Tür C (ebenfalls Niete). Wechsel von Tür B auf Tür A führt zum Gewinn.

Gruß,
S.

...
Nein - es ist nicht ganz egal wo was definiert ist. Wenn eine
Aufgabenstellung nicht exakt definiert ist, so kann es auch keine
eindeutige Lösung geben. Und genau das ist hier das Problem um das es
geht. Du machst es dir ganz einfach und sagt: "meine Deutung der
Aufgabenstellung ist die richtige und wer eine andere Deutung wählt, der
steht sich selbst im Weg".

Kannst du erkennen, dass eine andere (..und durchaus auch mögliche)
Deutung der Problemstellung des Rätsels zu einer anderen Lösung führt?

Das Beispiel mit den 1000 Türen soll verdeutlichen: Wenn bei 1000 Türen 997 Ziegen-Türen geöffnet werden, sollte man tauschen, weil man deutlich mehr weiß, als am Anfang.
Dieser Informationsgewinn, ergibt der sich erst bei der Tür Nr. 997 oder ergibt der sich bei jeder Tür ein wenig? Der Vorteil ergibt sich bei jeder Tür ein wenig. Also auch schon anteilig bei der ersten geöffneten Ziegen-Tür.
=> Auch bei nur 3 Türen bringt die erste geöffnete Ziegen-Tür einen Vorteil, wenn man dann tauscht.

Fall 1: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1. Spielleiter

öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 3 -> verloren

Fall 2: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1. Spielleiter

öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 2 -> verloren

Fall 3: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 2. Spielleiter

öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen

Fall 4: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 3. Spielleiter

öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen

Andere Möglichkeiten hat der Spielleiter nicht.

Die 66,6 : 33,3 Fraktion übersieht einfach, dass in dem Fall, wenn der
Spieler die Tür mit dem Auto wählt, der Spielleiter ZWEI Optionen
zur Öffnung der Ziegentür hat, und nicht EINE.

Deine Fälle 1 und 2 sind nur ein Fall, denn die Regel lautet, der Spielleiter öffnet nach Wahl eine Niete. Andernfalls müsstest Du auch die Fälle dazunehmen, wo der Spielleiter jeweils auch die Tür mit dem Gewinn öffnet, dann ist es wieder 33:66, bloß sieht man es gleich.

Ultimative Erklärung:

Man kann die Sache auch so darstellen:

Kandidat wählt eine Tür, anschließend fragt ihn der Spielleiter, ob er nicht lieber die anderen beiden Türen öffnen will.

Jetzt muss es doch zünden, dass der Wechsel bessere Gewinnwahrscheinlichkeit verspricht, oder?

Hallo Elli,

ich stelle mir gerade die Frage, wenn man den Ablauf nur ganz wenig
ändert.

Der Kandidat soll sich für eine der drei Türen entscheiden, aber bevor
er seine Entscheidung ausspricht, sagt der Moderator, halt, ich gebe ihnen
noch eine kleine Hilfe und öffnet eine Tür mir einer Ziege dahinter.

Die tatsächliche Handlung, das Aufmachen einer Ziegen-Tür durch den
Moderator, ist ja exakt gleich geblieben.

Aber wie sieht jetzt das Chance- Risikoverhältnis der beiden übrig
gebliebenen Türen aus?

Hallo Siggi,

wenn der Moderator nicht die Tür öffnet, die der Kandidat im Geiste gewählt hat, dann handelt es sich um das gleiche Chancenverhältnis (33% beim stehenbleiben vs. 66% beim Wechsel).
Wenn der Moderator aber die Tür öffnet, die der Kandidat zuvor im Geiste auserkoren hat, dann beginnt das Spiel quasi von Neuem und die Chancen stehen dann in der Tat 50:50.

Beste Grüße
Phoenix5

Kannst du erkennen, dass eine andere (..und durchaus auch mögliche)
Deutung der Problemstellung des Rätsels zu einer anderen Lösung führt?

In dem Fall nicht. Aber was man nicht versteht, muss man glauben.

wollte das eben auch schreiben, aber so ist es ...

Fall 1: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1. Spielleiter öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 3 -> verloren
Fall 2: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 1. Spielleiter öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 2 -> verloren
Fall 3: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 2. Spielleiter öffnet Tür 3. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen
Fall 4: Auto hinter Tür 1. Spieler wählt Tür 3. Spielleiter öffnet Tür 2. Auswahl ändern auf Tür 1 -> gewonnen

Andere Möglichkeiten hat der Spielleiter nicht.

Die 66,6 : 33,3 Fraktion übersieht einfach, dass in dem Fall, wenn der Spieler die Tür mit dem Auto wählt, der Spielleiter ZWEI Optionen zur Öffnung der Ziegentür hat, und nicht EINE.

Gruß,
S.

Aber ganz egal, wo was definiert ist: Das Beispiel ist gedacht, den Effekt > des Wechsels am Ende zu zeigen. Ob drei oder 1000 Türen: Es geht darum, dass
der Moderator immer alle Resttüren bis auf eine Tür abräumt und dies
immer welche mit Ziegen sind. Die 1000 sollen nur helfen, die geringe
'Richtig'-Wahrscheinlichkeit der ersten Wahl zu verdeutlichen.

Nein - es ist nicht ganz egal wo was definiert ist. Wenn eine Aufgabenstellung nicht exakt definiert ist, so kann es auch keine eindeutige Lösung geben. Und genau das ist hier das Problem um das es geht. Du machst es dir ganz einfach und sagt: "meine Deutung der Aufgabenstellung ist die richtige und wer eine andere Deutung wählt, der steht sich selbst im Weg".

Kannst du erkennen, dass eine andere (..und durchaus auch mögliche) Deutung der Problemstellung des Rätsels zu einer anderen Lösung führt?

Im Rätsel ist nirgends definiert, dass alle "Resttüren" geöffnet
werden. Es wird lediglich eine !!! weitere Türe geöffnet (nämlich Tür
3). Übertragen auf die tausend Türen bleiben auch nach der Aktion des
Moderators (...öffenen Einer !!! weiteren Tür) 999 Türen zur Auswahl.

Es stellt sich die Frage, ob sich nach dem Öffnen einer weiteren Tür
nicht eine neue Ausgangskonstellation mit gleicher
Trefferwahrscheinlichkeit für ALLE Türen (inklusive der
"Startauswahltür") ergibt.

Das Beispiel baut auf das Beispiel von BillHicks weiter oben auf. Aber ganz egal, wo was definiert ist: Das Beispiel ist gedacht, den Effekt des Wechsels am Ende zu zeigen. Ob drei oder 1000 Türen: Es geht darum, dass der Moderator immer alle Resttüren bis auf eine Tür abräumt und dies immer welche mit Ziegen sind. Die 1000 sollen nur helfen, die geringe 'Richtig'-Wahrscheinlichkeit der ersten Wahl zu verdeutlichen.

Das Verständnis der Aufgabe erinnert an ein Kippbild: Wenn man schon ein Bild zu sehen meint wird es sehr schwer das andere zu erkennen. Einfach nochmals langsam durchgehen und nicht zu viel darüber nachdenken, wo was definiert ist.

1 Auto 999 Ziegen:
Der Moderator räumt 998 'falsche' Türen ab, die Wahrscheinlichkeit, dass
die verbleibende, nicht von Dir gewählte Tür die richtige ist bleibt
99,9%.

Im Rätsel ist nirgends definiert, dass alle "Resttüren" geöffnet werden. Es wird lediglich eine !!! weitere Türe geöffnet (nämlich Tür 3). Übertragen auf die tausend Türen bleiben auch nach der Aktion des Moderators (...öffenen Einer !!! weiteren Tür) 999 Türen zur Auswahl.

Es stellt sich die Frage, ob sich nach dem Öffnen einer weiteren Tür nicht eine neue Ausgangskonstellation mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit für ALLE Türen (inklusive der "Startauswahltür") ergibt.

Nach wieviel Geld werden sie fragen?

Man stelle sich vor, es wären nicht drei Türen, sondern 100. Der
Kandidat wählt beispielsweise Tür Nummer 17. Anschließend öffnet der
Spielleiter 98 der noch verbliebenen 99 geschlossenen Türen und lässt
eine geschlossen, beispielsweise Tür Nummer 63. Und nun fragt er wieder:
„Wollen Sie bei Tür Nummer 17 bleiben oder wechseln zu Nummer 63?“

In deiner Lösungserklärung gibst du vor, dass der Spielleiter nach der Türwahl (Nr.17) des Kandidaten alle anderen Türen bis auf Eine (Nr.63) öffnet. Dies ist jedoch im Rätsel so nicht definiert. Im Rätsel werden nicht alle Türen bis auf zwei "Resttüren" geöffnet, sondern es wird nur eine einzige weitere Tür geöffnet. Im Rätsel wird nach der Türwahl Nr.1 lediglich eine, einzige weitere Tür (...nämlich Tür Nr.3) geöffnet.

Übertragen wir das auf dein Beispiel mit den 100 Türen, so bedeutet es, dass nach der Türwahl Nr.17 der Spielleiter die Türe Nr.100 öffnet und fragt: "Möchtest du Nr.17 behalten oder eine der Türen Nr.2 bis Nr.99 [außer Nr.17] wählen?".

Nehmen wir ein Beispiel mit 4 Türen und der Ersttürwahl Nr.1 (wie im Rätsel):
Der Spielleiter öffnet nach der Türwahl Nr.1 die Tür Nr.4 und fragt "Möchtest du Nr.1 behalten oder auf Nr.2 oder Nr.3 wechseln?"
Selbst wenn man die Trefferwahrscheinlichkeit der Tür Nr.1 bei 25% belässt, und die Trefferwahrscheinlichkeit der Türen 2 bzw. 3 auf 37,5% definiert, so ist es fraglich, wie viel Sinn ein Wechsel hier macht (...und wechsele ich dann auf Tür Nr.2 oder auf Tür Nr.3 ?)

Insgesamt stellt sich eben immer die Frage, ob durch das Öffnen einer weiteren Tür tatsächlich die Trefferwahrscheinlichkeit der "Erstwahltüre" gleich bleibt und nur die Trefferwahrscheinlichkeiten der "Resttüren" steigen, oder ob es nicht so ist, dass sich nach dem Öffnen einer weiteren Türe eine neue Grundkonstellation ergibt mit gleicher Chancenverteilung für alle Türen (...inklusive "Erstwahltür").

Beste Grüße
Soham

1 Auto 999 Ziegen:

Im ersten Schritt wählst Du eine Tür, die Wahrscheinlichkeit, dass es die richtige ist, ist 0,1 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Tür bei den anderen 999 ist, ist 99,9%.

Der Moderator räumt 998 'falsche' Türen ab, die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibende, nicht von Dir gewählte Tür die richtige ist bleibt 99,9%.

Mit dem Wechsel wechselst Du von 0,1% Wahrscheinlichkeit auf 99,9%.

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Bei drei Türen Ausgangslage ist es ein Wechsel von 33% auf 66% Wahrscheinlichkeit.

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Der Trick ist der, dass beim Abräumen des Moderators die anfängliche Wahrscheinlichkeit von 2(:1) bzw. 999(:1) Türen auf 1(:1) Tür übertragen wird, da der Moderator eben immer nur Ziegentüren abräumt.

ein weiterer Lösungsansatz statt einer Aufteilung 4 und 4 und 4, wäre
meiner Meinung nach eine anfängliche Aufteilung in die Würfelmengen 5 und
5 und 2.

nehmen wir an, Dein erster 5:5 Vergleich (ich nehme an, dass Du so beginnen würdest) zeigt Dir ein Ungleichgewicht.
Jetzt weißt Du, dass entweder einer der ersten 5 schwerer oder einer der zweiten 5 leichter ist. Du hast noch 2 Wägungen frei. Wie weiter?

Beste Grüße

Positiv.

ja, die Lösung basiert darauf, sich die bereits erhaltenen Infos zunutze zu machen.

Geht die erste Wägung unentschieden aus, so weiß man nicht nur, dass der gesuchte Würfel unter diesen 8 ist, man weiß desweiteren, dass 4 dieser Würfel schwerer sind als die anderen, also:
(a, b, c, d) < (e, f, g, h)

Bei jedem neuen Wiegvorgang gibt es auch wieder Informationen der Form (...) < (...), die ggf. für eine Aussage, einen Widerspruch, einen Ausschluss, etc. hilfreich sein können.

Hier ist nochmal eine mögliche Lösung in Kurzform beschrieben.

Alternativ nach "12 Kugeln" googeln, um weitere Lösungsbeschreibungen zu finden.

Respekt und beste Grüße,

Positiv.

Ich koennte Dir aber anbieten, dass wir Das Spiel einen Tag lang mit Geld spielen.

Dieses klassische Monty-Hall-Problem ist schon von vielen hochkarätigen
Statistikexperten diskutiert worden, auch solchen, die die

Die Loesungen und meinungen von Experten kannst Du heir nachlesen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

DAs Problem kann man deduktiv loesen, oder per Simulation. Beide Loesungen werden sagen: Wechsle und erhoehe Deine Gewinnwahrscheinlichkeit.

Erstsemestervorlesungen geben. Die Argumentation hier ändert nichts an der
Tatsache, dass nach dem Wegfall der ersten Ziegentür noch immer unbekannt
ist, wo sich die zweite Ziege befindet.

Das ist richtig. Denn sonst waere die Wahrscheinlichkeit 100%. Wie aber richtig argumentiert wurde, kann man die Wahrscheinlichkeit auf fast 100% erhoehen, wenn man mit genug Tueren spielt. Wenn Du mit 100 Tueren spielst, und der Moderator 98 Tueren oeffnet und sagt: Hier ist kein Gewinn, bleiben zwei Tueren. Eine Tuer, die zuerst gewaehlte, mit 1% Gewinnwahrscheinlichkeit und die andere, jetzt mit 99% Gewinnwahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeit ist 50:50,egal welche Türe zuvor gewählt worden war.

Nein. Noch mal, eine selektive Wahl mit Informationsassymetrie zerstoert Dir jede Standardwahrscheinlichkeitsrechnung.

Die erste Wahl ist keine wirkliche Wahl mit 1/3, da ja nicht die gewählte
Tür geöffnet wird, sondern eine andere mit Ziege, also die Wahl einer
Ziege mit Wahrscheinlichkeit 1.

Den Satz verstehe ich nicht. Deine Erste Wahl hat bei drei Tueren tatsaechlich eine Wahrscheinlichkeit von 1/3

Der Wählende wählt also 2 mal, wobei eine Wahl nicht-zufällig ist.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit (2 Wahlen auf Basis von 3 Türen) 66:33.
Die Gedankenexperimente beinhalten eine triviale Wahl und erhöhen so
künstlich die Basis für die Wahrscheinlichkeit.

Das Argument kann man leicht wiederlegen, indem man mit 100 Tueren spielt.

Die letzte Wahl auf Basis von zwei Türen bleibt aber bei 50:50.

Mit dieser Meinung stehst Du unter Mathematikern ziemlich alleine. Du kannst ein einfaches Simulationsprogramm schreiben. Das Ergebnis ist einfach: Immer wechseln!

Bei zwei Tueren sagt der gesunde Menschenverstand 50:50. Aber genau das ist eben falsch.

ich stelle mir gerade die Frage, wenn man den Ablauf nur ganz wenig ändert.

Der Kandidat soll sich für eine der drei Türen entscheiden, aber bevor er seine Entscheidung ausspricht, sagt der Moderator, halt, ich gebe ihnen noch eine kleine Hilfe und öffnet eine Tür mir einer Ziege dahinter.

Die tatsächliche Handlung, das Aufmachen einer Ziegen-Tür durch den Moderator, ist ja exakt gleich geblieben.

Aber wie sieht jetzt das Chance- Risikoverhältnis der beiden übrig gebliebenen Türen aus?

LG

siggi

Ich war felsenfest davon überzeugt, dass die behauptete 2/3-Chance totaler Unfug wäre, und dass @PPQ absolut recht habe. Nun habe ich meine Grundannahmen überprüft, hier meinen Denkfehler gefunden, und mir ist nun sonnen-klar geworden, dass es doch stimmt. In einer Quiz-Show würde ich definitiv springen – um dann natürlich wider der Wahrscheinlichkeit trotzdem zu verlieren.

Der Grund liegt darin, dass in der Tat die Wahrscheinlichkeit das Auto zu ziehen für den Spieler bei nur 1/3 liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Ziehen immer noch das Auto z.z. einer Ziege im Spiel bleiben, liegt klar bei 2/3. Der Spielleiter, der die Karten kennt, findet auf jeden Fall unter den verblibenen Karten noch eine Ziege, die er entfernen kann, so dass er mit 2/3-Wahrscheinlichkeit nun das Auto liegen lässt.

Gut, dass ich vorher nichts zu dem Thema gesagt habe.

Schöne Grüße

ein weiterer Lösungsansatz statt einer Aufteilung 4 und 4 und 4, wäre meiner Meinung nach eine anfängliche Aufteilung in die Würfelmengen 5 und 5 und 2.

Richtig?

lg

siggi

Gruß
Phoenix5

und wird immer zwei Fraktionen erzeugen.

Die eine Fraktion schaut nur auf die Wahrscheinlichkeit, ob der Spieler gewinnt, zu der gehöre ich. Für die ist es, wie vorhin erläutert, eine 1:2 Chance, der erste "Durchgang" mit 3 Türen hat ja keine Auswirkungen auf den zweiten und fällt damit aus der Betrachtung heraus.

Die andere Fraktion berechnet die Wahrscheinlichkeit der Richtigkeit des ersten Tipps inklusive Umentscheidemöglichkeit beim zweiten, und hat das bestimmt mathematisch richtig gelöst.

Welches die richtige Antwort ist, hängt also von der genauen Fragestellung ab.
"Frage: Lohnt es sich, zu der anderen Tür zu wechseln oder spielt es keine Rolle für die Gewinnswahrscheinlichkeit, wenn man bei der ursprünglichen Auswahl bleibt?"

Ich finde, die Frage ist nicht eindeutig, sie definiert nicht, ob die Gewinnswahrscheinlichkeit absolut oder vom Spielstart her berechnet werden soll, sie läßt also beide Blickwinkel zu.

Das bedeutet, daß alle recht haben! Gefällt mir SEHR gut!

Edit: Als mißtrauischer VT´ler unterstelle ich Absicht. Nicht bei Elli, um Gottes Willen, aber beim Erfinder des Rätsels.

Punkt. Alles andere sind Scheingefechte und Wortklaubereien.

a) ich wähle Tür 1. Geöffnet wird irgendeine Ziegentür. Von

Vorteil

wäre: bleiben.

Nein. Das hat Romeo nicht gemacht. Er hat hinterher abgezählt, wie oft

die Wechselstrategie erfolgreich war.

Du wirst mir sicher zustimmen, dass seine Entscheidung im Fall a) eben nicht richtig war. Dies ist nämlich exakt der im Rätsel betrachtete Fall dessen Lösung es ist, die Tür 1 zu wechseln und sich für Tür 2 zu entscheiden.

Außerdem ist im Rätsel schon die "Erstwahl" von Tür 1 vorgegeben.

Deine

Alternativen "b" und "c" haben mit dem Rätsel gar nichts zu tun. Sie

sind

in Bezug auf die Lösung des Rätsels irrelevant.

Das ist nicht richtig. Romeo hat das Rätsel für eine beliebige
Anfangstürwahl gelöst und damit auch für den Spezialfall der Erstwahl
von Tür 1.

Ich bleibe dabei: das Rätsel gibt die Erstwahl von Tür 1 bereits vor und deshalb ist die Betrachtung der Alternativen "b" und "c" für die Lösung des Rätsels nicht notwendig und bedeutungslos. Und wie oben beschrieben hat Romeo insbesondere den Spezialfall der Erstwahl von Tür 1 falsch beantwortet. Ebenso ist er uns die Erklärung schuldig geblieben, warum es seiner Ansicht nach im Fall a) besser war bei Tür 1 zu bleiben und in den Fällen b) und c) besser war zu Tür 1 zu wechseln.

Zum einen kannst Du wie Romeo annehmen, dass der Gewinn immer hinter Tür
1 ist, was nicht ganz so nachvollziehbar ist,

Ja - da hast du wirklich recht. Diese Annahme ist allerdings nicht ganz nachvollziehbar.

Schönen Abend und beste Grüße
Soham

Annahme: der Gewinn ist hinter Tür 1.

Und wenn deine Annahme falsch ist und der Gewinn ist hinter Tür 2?

Hallo Soham,

das war eine Beispielsannahme.
Es gibt den Fall, dass der Gewinn hinter der Tür 1 abgelegt ist. Dort liegt er und bliebt liegen.
Auf diesen einen Ausgangsfall (von drei möglichen) bezog sich meine formulierte Ableitung.

Du kannst die zwei übrigen Fallkonstellationen (es sind übersichtlicherweise ja insgesamt nur drei) analog auch für die beiden anderen verbleibenden Gewinntürmöglichkeiten durchspielen.

Da kommt jeweils dasselbe Ergebnis raus (2:1 für Wechsel).

Es gibt dafür nur 3 Handlungsszenarien, die man kurz durchgehen kann:
a) ich wähle Tür 1. Geöffnet wird irgendeine Ziegentür. Von Vorteil
wäre: bleiben.

Klar - wenn der Gewinn hinter Tür 1 ist, dann ist es von Vorteil, Tür 1
zu wählen. Das Problem ist nur, dass der Gewinn auch hinter Tür 2 sein
kann, wenn die Tür 3 geöffnet wird. Dann wäre "bleiben" nicht von
Vorteil .

Nein, wir wissen, dass der Gewinn in diesem einen betrachteten Fall hinter der 1 ist, also kann er nicht woanders sein.

Vielleicht hätte ich es abstrakt formulieren sollen:
Es gibt eine Gewinntür TAuto und es gibt zwei Nietentüren TZ1 und TZ2.
Die TAuto Tür wird vorher vom Veranstalter festgelegt, das Auto steht mit angezogener Handbremse und rollt nicht zu einer anderen Tür weg, während ich mich nach Öffnen der zweiten Türe am Kopf kratze und überlege, ob ich bei der ersten Entscheidung bleiben oder wechseln soll.

Ich stehe nun also vor den 3 geschlossenen Türen und habe 3 erste Wahlmöglichkeiten.
a) ich tippe auf die Tür TAuto, hinter der der Gewinn ist. Geöffnet wird sodann eine der beiden (egal welche) Ziegentüren TZx. Wechsle ich jetzt (auf die verbleibende Ziegentür TZy), habe ich verloren.
b) ich tippe auf die Tür TZ1. Geöffnet wird die Tür TZ2. Wechsle ich jetzt (auf die verbleibende Tür: TAuto), habe ich gewonnen.
c) ich tippe auf die Tür TZ2. Geöffnet wird die Tür TZ1. Wechsle ich jetzt (auf die verbleibende Tür: TAuto), habe ich gewonnen.

Bei permanenter Wechselstrategie kann man also 1x verlieren und 2x gewinnen.
Umgekehrt hätte ich bei permanenter Bleibestrategie 2x verlieren und nur 1x gewinnen können.

Hier noch Alternative d) für dich: "Ich kaufe eine Bahnkarte"

Was will ich mit ner Bahnkarte? Eine Bahn, die nicht fährt, ist nichts wert.

Fahrende Grüße,
R.

Es gibt nur:
A (Auto)
B1 (kein Auto)
B2 (kein Auto)

Eins der beiden B ist nur da, um auszuscheiden. Von Anfang ist Deine Wahl also A oder B.

Ob du nach dem Ausscheiden von B1 oder B2 von B zu A wechselst oder bei B oder A bleibst, ist gleichgültig. Die Wahrscheinlichkiet, dass du von a zu B wechselst (also deinen Gewinn abgibst) ist genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass du von B zu A wechselst, also von Ziege zu Auto.

Zum einen kannst Du wie Romeo annehmen, dass der Gewinn immer hinter Tür
1 ist, was nicht ganz so nachvollziehbar ist,

Hallo Paranoia,

ich habe lediglich ein praktisches Beispiel bringen wollen, damit sich das jeder einfach visualisieren kann und ging stillschweigend davon aus, dass die Analogie zu den verbeliebenden anderen beiden Möglichkeiten auf der Hand liegt:
natürlich hat Veranstalter drei Möglichkeiten, wo er zuvor den Gewinn hinlegt, mein Beispiel sollte exemplarisch eine der drei Möglichkeiten untersuchen, die untereinander gleichwertig sind.

Egal, wo der Gewinn liegt, es ergeben sich für den wählenden Gast letztlich immer wieder dieselben 3 Möglichkeiten.
Wenn man das für ALLE 3 Auto-Stationierungsmöglichkeiten analog zum ersten Beispiel durchspielt, kommt man auf 3 x 3 = 9 Wege zum Gewinn: davon 3 x bleiben und 6 x wechseln, an den Verhältnissen untereinander ändert sich nichts.

Gewinnende Grüße,
R.

das stimmt eben nicht oder es stimmt nur rein mathematisch. Da der Spielleiter immer eine der beiden Türen öffnen wird, hinter denen kein Auto ist, wählst Du von Anfang an nur zwischen zwei, nicht zwischen drei Türen.

Von Anfang an gibt es neben Deiner Tür nur eine weitere, die entweder das Auto hat oder nicht. Im letzteren Fall hast du es, da die zweite tote Tür immer ausscheidet.

Ob du nach dem Ausscheiden der 2. leeren Tür von deiner, die entweder das Auto hat oder nicht, auf die andere wechselst, die entweder das Auto hat oder nicht, ist völlig gleichgültig: Die Chance, dass Du richtig liegst, beträgt IMMER 50:50 an, weil es die ausscheidene Tür im Grunde gar nicht gibt - sie ist von Anfang nur im Spiel, um das Denkrätsel zu einem zu machen.

Ich hoffe, ich habe mich jetzt richtig erklärt.

So sehr ich Deinen Blog auch mag, hier liegst Du falsch.

Das ist ein Irrtum, denn du wählst auch, wenn du nicht wählst.

Das ist richtig. Bei Deiner ersten Wahl betraegt die Wahrscheinlichkeit
fuer einen Geweinn 1/3. Die bleibt auch bei einem Drittel, nachdem eine
Tuer geoeffnet wurde. Wenn Du auf die verbleibende Tuer wechselst, erhoehst
Du Deine Gewinnwahrscheinlichkeit auf 2/3.

Das ist natuerlich counterintuitiv, beruht aber darauf, dass der Oeffner
eine _selektive_ Wahl trifft, bzw. treffen muss, da er nicht den Gewinn
oeffnen darf.

Du kannst es Dir durch ein einfaches Baumschema der Moeglichkeiten klar
machen.

Wahrscheinlichkeit, richtig zu liegen, beträgt nach Eliminierung von

Tür

3 immer 50 %

Nein, da eine selektive Wahl getroffen wurde. Du kannst Dir es auch so
verdeutlichen, dass Du mit einem Wechsel quasi zwei Tueren gleichzeitig
waehlst. Die andere ungeoeffnete und die geoeffnete.

Einfuehrung in die Mathematik, 1. Semester